چگونه بین دو عدد گویا عددی گویا بنویسیم؟
بین دو عدد طبیعی متوالی عددی طبیعی وجود ندارد.بین دو عدد صحیح متوالی نیز عددی صحیح وجود ندارد. امّا در مورد اعداد گویا چنین نیست منظور اینکه دو عدد گویا هر چقدر هم که به هم نزدیک باشند، بین آن ها حداقل یک عدد گویا وجود دارد که در ادامه به آن می پردازیم.
خب دوستان، گفتیم که بین دو عدد گویا حداقل یک عدد گویا وجود دارد اکنون با ذکر دلیل آن عدد را ارائه می دهیم.
اگر و دو عدد گویا باشند، (میانگین آن ها) بین آن ها قرار دارد.
اثبات: فرض کنیم در نتیجه می توان نوشت:
به خاطر شلوغ نشدن اثبات از نوشت فرم کسری و خودداری کرده ایم.
نکته: اگر آنگاه.
با اجازه شما دوستان قصد داریم رابطه را تعمیم داده و به یک نتیجه ی جالب برسیم.
فرض کنیم. حال طبق حکم اثبات شده در بالا داریم:
با فرض می توان نوشت:
با تکرار فرایند فوق بدست می آید و در نتیجه. و این یعنی بین هر دو عدد گویا نه تنها یک عدد گویا بلکه بی شمار عدد گویا وجود دارد.
به دوستان اوّل دبیرستانی حق می دهم که خسته شوند ولی اگر کمی حوصله به خرج دهند از دلشون در میارم.
بحث را به شیوه کتاب ریاضی اوّل دبیرستان جلو می برم.
مثال 1: بین دو عدد گویای عددی گویا بنویسید.
قطعا دوستان قبل از بنده عدد را نوشته اید.این دو عدد گویا دارای مخرج های مساوی هستند و همین طور با مقایسه صورت ها مشاهده می شود که بین اعداد صورت ها عدد وجود دارد پس حدس می زنیم که عدد
بین دو عدد گویای داده شده قرار دارد.البته دوستان مستحضر هستید که وقتی می گوییم عددی بین دو عدد دیگر قرار دارد یعنی از یکی بزرگتر و از دیگری کوچکتر است.(یعنی بین قرار دارد)
مثال 2: بین دو عدد گویای عددی گویا بنویسید.
با مقایسه مثال 1 به نظر می رسد اوضاع وخیم شده است و استدلال ارائه شده در مثال1 جواب نمی دهد.چکار باید کرد؟ شاید در اینجا تساوی کسرها بتواند به کمک ما بیاید.صورت و مخرج هر دو عدد گویا را در عدد 2 ضرب کنید خواهید داشت:
ظاهرا بخت با ما یار بود و این ترفند جواب داد و می توان گفت که عدد بین دو عدد گویای قرار دارد.
نکته: اگر دو عدد گویا دارای مخرج های مساوی باشند و از ما بخواهند که بین آن ها عدد گویا بنویسیم در این صورت صورت و مخرج هر دو عدد گویا را در (یک واحد بیشتر از تعداد خواسته شده) ضرب می کنیم.
مثال 3: بین دو عدد گویای پنج عدد گویا بنویسید.
حل: صورت و مخرج هر دو عدد گویا را در شش ضرب می کنیم خواهیم داشت:
مثال 4: بین دو عدد سه عدد گویا بنویسید.
حل: در حالتی که مخرج ها مسا وی نیستند ابتدا مخرج ها را یکسان نموده و سپس مانند مثال های فوق عمل می کنیم.
در ادامه نکته ای را برای شما بیان و اثبات می کنیم که احتمالا به ما کمک می کند تا سریع تر بتوانیم بین دو عدد گویا به تعداد خواسته شده عدد گویا بنویسیم.
نکته: اگر باشد در این صورت.
اثبات: (اعداد را مثبت در نظر می گیریم)
می دانیم
بنابراین داریم:
مثال 5: بین دو عدد گویای پنج عدد گویا بنویسید.
حل: می دانیم.بنابراین کافیست بین این دو عدد گویا پنج خط کسری قرار داده و صورت و مخرج آن ها را با استفاده از نکته فوق تکمیل کنیم.
تمرین 1: ثابت کنید اگر در این صورت. ()
تمرین 2: اگر و ثابت کنید:
نکته: اگر و اعدادی طبیعی باشند ثابت کنید:
اثبات: می دانیم
بنابراین داریم:
مثال:بین دو عدد گویای پنج عدد گویا بنویسید.
حل: کافیست با استفاده از نکته ی فوق به جای اعداد طبیعی قرار داده و اعداد گویای متناظر را بیابیم.
- لینک منبع
تاریخ: شنبه , 14 اردیبهشت 1398 (22:50)
- گزارش تخلف مطلب