دنباله حسابی در مثلث قائم الزاویه

سوال:  اضلاع یک مثلث قائم الزاویه، تشکیل یک دنباله ی حسابی می دهند. اگر مساحت مثلث، 48 واحد مربع باشد، طول وتر مثلث را پیدا کنید؟

نکته: اگر اضلاع یک مثلث قائم الزاویه، تشکیل یک دنباله ی حسابی دهند، آنگاه طول اضلاع به ترتیب 3x، 4x، 5x خواهد بود.

حل سوال: می دانیم مساحت مثلث، برابر حاصل ضرب قاعده در ارتفاع تقسیم بر دو است.

پس مساحت مثلثی که در سوال گفته شده، برابر حاصل ضرب 3x در 4x تقسیم بر دو است که برابر 48 است. و از این جا، مقدار x به دست می آید رادیکال هشت یا همان دو در رادیکال دو.

پس طول وتر، 5 در دو در  رادیکال دو که ده رادیکال دو می شود.

برای به دست آوردن مقدار ماکزیمم تابع مثلثاتی بالا، می دانیم که:

sin به توان دو + cos به توان دو = 1

یعنی ماکزیمم توان زوج های sin و cos، برابر یک است و اگر مقدار یکی از آن ها، یک باشد، مقدار دیگری حتما برابر صفر است.

از طرف دیگر می دانیم:

مقدار های sin  و cos همواره بین منفی یک تا مثبت یک است.

پس برای این که مقدار عبارت بالا، ماکزیمم شود، ابتدا دقت می کنیم که کدام یک ضریب بزرگتری دارد. چون sin به توان چهار، ضریب بزرگتری دارد، پس برای این که بیشترین مقدار ممکن تولید شود، باید مقدار sin، بیشترین مقدار خود یعنی یک باشد. از طرفی می دانیم اگر مقدار یکی از آن ها، برابر یک شد، مقدار دیگری حتما باید صفر باشد.

2 = ​​​​​​max = 2 + 0