تشخیص اول یا مرکب بودن یک عدد

تشخیص اول یا مرکب بودن یک عدد رو چطوری انجام بدیم؟

بعد از اینکه روش غربال رو یاد گرفتیم، نوبت این میرسه که بفهمیم وقتی یه عدد بهمون میدن و از ما میخوان که تشخیص بدیم این عدد اول هست یا نه باید چیکار کنیم. در این درس میخوام راه تشخیص اول یا مرکب بودن یک عدد رو براتون توضیح بدم.

برای تشخیص اول یا مرکب بودن یک عدد، باید عدد داده شده رو بر تک تک اعداد اول که بلدیم یعنی 2 و 3 و 5 و … به ترتیب تقسیم کنیم. اگه عدد داده بر هیچ کدوم از اعداد اول تقسیم نشد، اون وقت میگیم عدد داده شده اول است. اما اگه حتی به یکی از اعداد اول بخش پذیر باشه، اون وقت دیگه عددمون اول نیست بلکه مرکب هست.

سوال اصلی اینجاست که خب همه مون میدونیم اعداد اول تعدادشون بینهایت هست، ما از کجا بدونیم تقسیم کردن هامون رو تا کدوم عدد اول باید ادامه بدیم؟

ابتدا راه کاری که توی کتاب درسی هستش رو براتون توضیح میدم. اما بعدش یه روش خیلی آسون تر از اون هم بهتون یاد میدم. پس تا آخر این درس با من همراه باشید.

اولین کاری که باید بکنیم اینه که جذر تقریبی اون عدد رو بگیریم. حالا عدد داده شده رو بر تمام اعداد اول که کوچکتر یا مساوی جذر تقریبی هستند، تقسیم می کنیم. اگه به هیچ کدوم تقسیم نشد، یعنی اون عدد اول هست. تمام شد و رفت!

برای جذر تقریبی گرفتن، لازمه که توان دوم اعداد طبیعی رو بلد باشیم. به جواب توان دوم میگن مجذور. مثلا عدد 16 مجذور عدد 4 و عدد 25 مجذور عدد 5 هست.

1²=1، 2²=4، 3²=9، 4²=16، 5²=25

6²=36، 7²=49، 8²=64، 9²=81، 10²=100

11²=121، 12²=144، 13²=169، 14²=196، 15²=225، …

مثلا جذر تقریبی عدد 40 رو میخوام الان حساب کنم. میگم 40 بین کدام دو مجذور پشت سرهم قرار می گیره؟ معلومه بین 36 و 49 هستش! خب این یعنی که جذرش هم بین 6 و 7 درمیاد. پس جذر تقریبی عدد 40 میشه 6 و خورده ای!

36 < 40 < 49 ⇒ √36 < √40 < √49 ⇒ 6 < √40 < 7 ⇒ √40 ≈ 6٫

حالا بذارید مثال بزنم براتون:

مثال: آیا عدد 137 اول است یا مرکب؟

جذر تقریبی 137 رو به روشی که توضیح دادم می گیریم. عدد 137 بین کدام دو مجذور پشت سر هم هست؟ خب معلومه بین 121 و 144 هست. بنابراین جذرش بین 11 و 12 میشه. یعنی جذر تقریبیش میشه 11 و خورده ای.

121 < 137 < 144 ⇒ √121 < √137 < √144 ⇒ 11 < √137 < 12 ⇒ √137 ≈ 11٫

خب حالا عدد 137 رو باید بر اعداد اول 2 و 3 و 5 و 7 و 11 تقسیم کنیم. اگه حتی به یک کدوم از این ها بخش پذیر باشه دیگه اول نیست.

137 تقسیم بر 2: خارج قسمت 78 و باقی مانده 1 می شود. ⇐ بر 2 بخش پذیر نیست.

137 تقسیم بر 3: خارج قسمت 45 و باقی مانده 2 می شود. ⇐ بر 3 بخش پذیر نیست.

137 تقسیم بر 5: خارج قسمت 27 و باقی مانده 2 می شود. ⇐ بر 5 بخش پذیر نیست.

137 تقسیم بر 7: خارج قسمت 19 و باقی مانده 4 می شود. ⇐ بر 7 بخش پذیر نیست.

137 تقسیم بر 11: خارج قسمت 12 و باقی مانده 5 می شود. ⇐ بر 11 بخش پذیر نیست.

چون 137 بر هیچ کدوم از اعداد 2 و 3 و 5 و 7 و 11 بخش پذیر نیست، بنابراین عددی اول است.

روش آسون ترش اینه که شما لازم نیست جذر بگیرین. از همون اول شروع کنید به تقسیم کردن عدد داده شده بر اعداد اول 2 و 3 و 5 و 7 و … به ترتیب. فقط حواستون باشه اگه مجذور عدد اول از عدد داده شده بزرگتر شد، دیگه تقسیم بر اون عدد اول و عددهای اول بعد از اون رو لازم نیست بررسی کنیم.

مثال: بررسی کنید که آیا 107 اول است یا مرکب؟

مجذور 2 مساوی 4 است (107 > 4)بررسی بخش پذیری بر 2 لازم است: (خارج قسمت 53 و باقی مانده 2)⇐ بخش پذیر نیست.

مجذور 3 مساوی 9 است (107 > 9)بررسی بخش پذیری بر 3 لازم است: (خارج قسمت 35 و باقی مانده 2)⇐ بخش پذیر نیست.

مجذور 5 مساوی 25 است (107 > 25)بررسی بخش پذیری بر 5 لازم است: (خارج قسمت 21 و باقی مانده 2)⇐ بخش پذیر نیست.

مجذور 7 مساوی 49 است (107 > 49)بررسی بخش پذیری بر 7 لازم است: (خارج قسمت 15 و باقی مانده 2)⇐ بخش پذیر نیست.

مجذور 11 مساوی 121 است (107 < 121)بررسی بخش پذیری بر 7 و اعداد اول بیشتری لازم نیست.

چون 107 بر هیچ کدوم از اعداد 2 و 3 و 5 و 7 بخش پذیر نیست، بنابراین عددی اول است.

منبع: درس در خانه