زاویه های داخلی و خارجی چند ضلعی ها
زاویه داخلی
در یک چند ضلعی هر دو ضلع در یک نقطه به هم می رسند. زاویه بین هر دو ضلع که داخل چند ضلعی قرار بگیرد، زاویه داخلی نام دارد.
به شکل ها دقت کنید.
زاویه های داخلی به رنگ آبی نشان داده شده اند. روابطی که در ادامه خواهیم گفت، مربوط به زاویه های داخلی در چند ضلعی های منتظم است.
مجموع زاویه های داخلی در چند ضلعی های منتظم مجموع زاویه های داخلی یک چند ضلعی منتظم چند است؟
در هر کدام از چند ضلعی های منتظم، یک راس را به سایر راس ها وصل کرده ایم. با این کار چند ضلعی به تعدادی مثلث جدا از هم تقسیم می شوند. از میدانیم مجموع زاویه های داخلی یک مثلث 180 درجه است. پس از برای بدست آوردن مجموع زاویه های داخلی در چند ضلعی های منتظم کافی است:
تعداد مثلث های بوجود امده را در عدد 180 ضرب کنیم.
همیشه تعداد مثلث های جدا از هم که بوجود می ایند، دو تا از تعداد ضلع های چند ضلعی کمترند.
180) × (2 – تعداد اضلاع) = مجموع زاویه های داخلی در چند ضلعی های منتظم
اندازه هر زاویه داخلی در چند ضلعی های منتظم
چون در چند ضلعی های منتظم همه زاویه ها با هم مساوی است، پس با تقسیم مجموع زاویه ها بر تعداد آن ها، اندازه هر زاویه داخلی
بدست می اید. یعنی:
تعداد اضلاع / 180 × (2 – تعداد اضلاع) = اندازه هر زاویه داخلی در چند ضلعی های منتظم
مجموع زاویه های داخلی 15 ضلعی چند درجه
13=15-2
مجموع زاویه های داخلی 2340=13×180 یک پانزده ضلعی
زاویه خارجی
در این درس میخواهیم زاویه های خارجی در چند ضلعی های منتظم را معرفی کنیم.
یک چند ضلعی محدب را در نظر بگیرید. توی هر گوشه دوتا خط به هم میرسند تا یک زاویه بوجود بیاید. این زاویه که بین ضلع های زاویه تشکیل شده رو زاویه داخلی می گویند
حالا اگه یکی از ضلع های زاویه رو به صورت خط راست ادامه بدیم، زاویه ای که بین این امتداد و ضلع دیگه زاویه تشکیل می شو، زاویه خارجی گفته می شود. در شکل زاویه خارجی با رنگ آبی مشخص شده است.
رابطه بین زاویه داخلی و خارجی در هر گوشه
در تعریف گفتیم که ضلع زاویه را باید به صورت خط راست ادامه بدهیم. اگه به شکل زیر دقت کنید کاملا واضح است که توی هر گوشه زاویه داخلی و خارجی مکمل هم هستند و یا به عبارتی
در هر گوشه جمع زاویه داخلی و خارجی مساوی 180 است.
محاسبه زاویه های خارجی در چند ضلعی های منتظم
میدانیم از تعداد اضلاع 2 تا کم کنیم و جوابش را در 180 ضرب کنیم، مجموع زاویه های داخلی چند ضلعی منتظم بدست میاید.
میدانیم مجموع زاویه داخلی و خارجی در هر گوشه هم برابر 180 می شود. پس مجموع زاویه های داخلی و خارجی کل شکل را اگه بخواهیم باید تعداد گوشه ها را در 180 ضرب کنیم
با دانستن این دو مورد ستون سوم و چهارم جدول رو کامل می کنیم. حالا برای پرکردن ستون آخر باید ستون سوم رو از ستون چهارم کم کنیم. اگه دقت کنید این اختلاف همه شکل ها 360=180×2 بدست امده. از این تمرین نتیجه می گیریم که:
مجموع زاویه های خارجی همیشه مساوی 360 است.
محاسبه هر زاویه خارجی یک چند ضلعی منتظم
در چند ضلعی های منتظم تمام ضلع ها با هم و تمام زاویه های هم با هم مساوی است. این مطلب برای زاویه های خارجی هم صادق است. یعنی تمام زاویه های خارجی هم باهم مساوی هستند. پس برای پیدا کردن اندازه هر زاویه خارجی در یک چند ضلعی منتظم به صورت زیر عمل می کنیم:
اندازه هر زاویه خارجی در چند ضلعی منتظم مساوی 360 تقسیم بر تعداد اضلاع
البته میدونیم که تعداد اضلاع و تعداد زاویه ها باهم برابره!
اثبات اینکه چرا مجموع زاویه های خارجی هر nضلعی برابر 360 می شود
در ابتدای درس گفتیم که در هر گوشه از یک چندضلعی جمع زاویه داخلی با زاویه خارجی مساوی با 180 می شود یک nضلعی دارای nگوشه است بنابراین جمع همه زاویه های داخلی با همه زاویه های خارجی مساوی با n×180 هست. از طرفی میدنیم که جمع همه زاویه های داخلی به تنهایی
از فرمول 180×(n -2) بدست میاید. در نتیجه اگه فرمول اولی رو منهای دومی کنیم، عبارت باقی مانده برابر با مجموع همه زاویه های خارجی خواهد بود.
n×180 – (n-2)×180 = 180×n – n×180 + 2×180 = 180n – 180n + 360 = 360
- لینک منبع
تاریخ: پنجشنبه , 08 فروردین 1398 (12:26)
- گزارش تخلف مطلب